A] Définition.
Une suites u est une fonction de N dans R.
u : N -> R
n -> u(n) Notation u(n) est noté un
Exemples: Soit la suite u de terme générale
un = (5n² -3) / (2n +1) u10 = (5x10² -3) /(2x10 +1) = 497/21
B] Mode de définition d'une suites.
1) De manière explicite
On donne un en fonction de n ex: un = 2n² -3
2) Par récurrence
On donne un terme initiale et une relation entre 2 termes consécutifs.
ex: uo = 1 et un+1 = 2un -3
Si on veut calculer u(10) on doit connaître u1, u2, ... , u9.
3) A l'aide d'une fonction
Soit f une fonction définit sur [ 0 ; +∞ [ et un = f(n)
ex: f(x ) = 2x +6 définie sur [ 0 ; +∞ [
La suite associée est : un = f(n) = 2n +6
II. Suites particulières.
A] Suites arithmétiques
1) Définition
u est une suites arithmétique de raison r si et seulement si quelle que soit n Naturel un+1 = un +r
2) propriété
u est une suite arithmétique de raison r si et seulement si quelle que soit n Naturel un = uo + nr
3) propriété
u est une suite arithmétique de raison r si et seulement si quelle que soit n Naturel et p Naturel on a : un = up + (n-p) r
4) Somme des termes
S = u0 +u1 +u2 +... +un ou u suite arithmétique de raison r
S est la somme des (n+1) premier terme de la suite
on a S = (n+1)(uo +un) /2
B] Suites géométriques
1) Définition
u est une suite géométrique de raison q si et seulement si pour tout n Naturel un+1 = q x un .
2) Propriété
Une suite géométrique de raison q si et seulement si quel que soit n Naturel un = uo + qn .
3) propriété
Une suite géométrique de raison q si et seulement si quel que soit m Naturel et quel que soit p Naturel un = up + qn-p .
4) Somme
S = u0 + u1 + u2 + ... + un
S est la somme géométrique des n premier terme de la suites u de raison q.
S = u0 x ( 1 - qn-p ) / ( 1 -q )
remarque: si q = 1 quel que soit n Naturel un = uo donc S = (n+1) x u0
remarque 2: On peut utiliser S = u0 x ( qn-p -1 ) / ( q - 1 ) si q < 1 pour éviter les signe moins générateur de fautes.
III. Compléments.
A] Suites majoré - minorée
Définition:
1) (un) est majorée par un réel M si et seulement si quelque soit n Naturel, un est inférieur ou égale à M.
2) (un) est minorée par un réel m si et seulement si quelque soit n Naturel, un est supérieur ou égale à M.
3) (un) est borné si et seulement si (un) est majorée et minorée.
B] Sens de variation
u est une suite croissante si et seulement si quel que soit n Naturel un est inférieur ou égale à un+1 .
u est une suite décroissante si et seulement si quel que soit n Naturel un est supérieur ou égale à un+1 .
u est une suite constante si et seulement si quel que soit n Naturel un est égale à un+1 .
Remarque: une suite est monotone si et seulement si elle est soit croissante soit décroissante.
Methode: pour démontrer que u est croissante ou décroissante.
1) on cherche le signe de un+1 - un
2) on a une fonction associé telle que un = f(n)
si f croit sur [0; +∞[ alors u croissante
si f croit sur [0; +∞[ alors u décroissante
3) Si u est une suite strictement positive
si (un+1) / (un) > 1 alors la suite est croissante.
si (un+1) / (un) < 1 alors la suite est décroissante.
A utiliser eventuelement pour des puissances ou des quotient.
C] Limite d'une suite
limite finie:
Definition On dit que la suite (un) admet pour limite le réel l, si pour tout intervalle ]a;b[ contennant l contient tous les termes de la suites à partir d'un certain rang. On dit que la suite (un) est convergente.
Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
limite infinie:
Définiton Soit (un) une suite. on dit que (un) admet comme limite +∞ (respectivement -∞ ) , si tout intervalle ]a; +∞[ (respectivement ]-∞;a[ ) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
IV. Propriétés sur les suites
A] théoreme 1
Lorsqu'elle existe, la limite d'une suite est unique.
démonstration: raisonnement par l'absurde
Supposons qu'il y ait 2 limites l et l' avec l diférent de l'.
Soit e = (l - l')/4
lim[n->+oo] Un = l Soit V1 = ]l-e;l+e[ il existe n1 naturelle tel que si n>n1 alors Un appartient à V1.
lim[n->+oo] Un = l' Soit V2 = ]l'-e;l'+e[ il existe n2 naturelle tel que si n>n2 alors Un appartient à V2.
Soit n3=MAX(n1,n2) alors pour tout n >n3 on aurait Un appartient à V1 et Un appartient à V2. Or V1 et V2 sont disjoint donc c'est impossible. L'hypothèse faites est donc fausse donc l=l'.
B] théorème 2
Une suite qui converge est borné.
Démonstration:
Soit l = lim[n->+oo] Un pour tout intervalle V = ]l-e;l+e[ e > 0 il existe un rang a partir duquel tous les un sont dans V.
Prenons e=1 V = ]l-1; l+1[ il existe N naturelle tel que si n > N alors un appartient à V
C] théorème de convergence monotone
1. Si (un) est une suite croissante et majoré alors (un) converge.
2. Si (un) est une suite décroissante et majoré alors (un) converge.
Ce théorème assure l'existence de la limite de la suite (cela ne donne pas sa valeur).
D] théorème de divergence
Si (un) est croissante et non majoré alors lim[n-> +∞] Un = +∞ u est divergente.
Si (un) est décroissante et non minoré alors lim[n-> +∞] Un = -∞
E] Limite d'une suite définit par un = f(n)
f fonction définit sur R+
Si lim[x-> +∞] f(x) = l alors lim[n-> +∞] un = l
/!\ Sa réciproque est fausse.
F] limite d'une suite définit par un+1 = f(un)
théorème: f fonction définit sur un intervalle I et U la suite définit par : quel que soit n naturel un+1 = f(un) , Uo donné , et un appartenant à I.
Si u est convergente, soit l sa limite et si f est continu en l alors l vérifie : l = f(l)
V. Suites adjacentes
A] définition
Deux suites (un) et (vn) sont dite adjacente si et seulement si :
- u est croissante
- v est décroissante
- lim[n-> +∞] ( vn - un ) = 0
B] théorème
Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes alos (un) et (un) sont convergentes et admettent la même limite.
propriété: Si (un) et (un) sont adjacentes alors quel que soit n naturel un inférieur ou égale à vn (u croit et v décroît).
