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Fonction exponentielle

 
 

 Plan du chapitre:

 I. Définition et propriété de la fonction exponentielle.

 II. La notation puissance.

 III. Etude de la fonction.

 IV. Des propriétés importantes.

 

I. Définition est propriétés de la fonction exponentielle

 Théorème et définitions:

Il existe une et une seule fonction définie et dérivable sur R tel que:

On ne f' = f et f(0)=1

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et on la note exp.

Démonstration:

On admet l'existence d'une telle fonction et on va démontrer son unicité. Pour cela, on va tout d'abord démontrer qu'une telle fonction f ne peut s'annuler sur R.

On définit sur R la fonction F par F(x ) = f(x ) x f(-x )

La fonction de F est le produit de fonctions dérivables sur R. Soir un nombre réel:

F'(x ) = f'(x ) x f(-x ) - f(x ) x f'(-x )

Or, pour tout u réel, f'(u) = f(u) , d'où F'(x ) = 0

La fonction F est donc constante sur R, avec F(0) = 1. D'où pour tout réel de:

F(x ) = f(x ) x f(-x ) = 1

Ceci implique que la fonction f ne peut s'annuler sur R, sinon on aboutirait à une contradiction.

Soit g une autre fonction tel que g' = g et g(0) = 1 .

g ne s'annulant pas sur R, pour tout réel, la fonction f/g est dérivable sur R, et:

(f/g)'(x ) = [f'(x ) x g(x ) - f(x ) x g'(x )]/g²(x )
               = [f(x )g(x ) - f(x )g(x)]/g²(x ) = 0

La fonction quotient est alors constante sur R.

Il existe donc une constante C telle que sur R, f = Cg

Et vu que f(0) = g(0) = 1 , on obtient C = 1 . D'où f = g sur R.

Remarque: Le fait que la fonction exp ne s'annule pas sur R permet de déduire directement la propriété suivante.

Propriété: La fonction exp est strictement positive et strictement croissante sur R.

Démonstration:

On sait alors que R la fonction exp ne s'annule pas. On va donc montrer qu'elle est de signe constant sur R. A l'aide d'un raisonnement par l'absurde, on va montrer pour cela que, si a et b sont deux réels (a<b),
tels que: exp(a) x exp(b) < 0, alors on aboutit à une contradiction. Sur l'intevalle [a;b], la fonction exp est continue car dérivable, avec exp(a) et exp(b) de signes contraires. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu'il existe un réel x 0 dans l'intervalle ]a;b[ tel que exp(x 0) = 0, ce qui, justement n'est pas possible. La fonction exp est donc de signe constant sur R, avec exp(0)=1 ; donc, pour tout réel : exp(x )>0 . Par la suite, exp' = exp sur R, donc la fonction exp est donc strictement croissante sur R.

Théorème:

Pour tout couple (x ;y) de réels: exp(x +y) = exp(x )+exp(y)

Remarque: Ce théorème permet notamment d'établir les propriétés algébriques bien utiles et du corollaires suivant.

Corollaire :

et y sont deux réels quelconques, alors :

exp(-x ) = 1/exp(x )

exp(x -y )=exp(x )/exp(y )

exp(x )n = exp(nx )        (n appartenant à Z)  .

 

II. La notation puissance

 Le corollaire précédent permet de constater que la fonction exp possède des propriétés algébriques semblables à celles des puissances sur les nombres réels. D'autre part, pour tout entier relatif n , on sait que exp(1)n = exp(n)

En posant e = exp(1); on étend alors cette dernière relation, par convention, est tout réel x , ce qui s'écrit alors: exp(x ) = e

Désormais :

- la fonction exp se notera : exp : -> ex    .

- e = exp(1), est un nombre réel dont une première approximation, que l'on peut notamment obtenir par la méthode d'euler, est e = 2,718...

Et, en découle alors, une nouvelle formulation des propriétés algébriques de la fonction exp.

Corollaire: pour tout nombres réels et y :

- e0 = 1          
- e+ = e x e   

- e- = 1/e

- ex -  = ex /e y

- (ex )n = enx

 

III. étude de la fonction

Théorème: lim[x ->-] e = 0

lim[x ->+] e = +

On en déduit alors le tableau des variations de la fonction exp, ainsi que sa courbe représentative:

tableau de variation de expcourbe exponentielle

Remarque: On peut déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. Celle-ci est déterminée par la donné de exp(0) et exp'(0)

Or exp(0)=exp(0)=1, donc, une équation de cette tangente est y =x +1  .

 

IV. Des propriétés importantes

    1. Dérivation d'une composée

Pour toute fonction u dérivables sur un intervalle I,
   la fonction f: -> exp(u(x )) est dérivable sur I et pour tout réel on a f'(x ) = u'(x ) x exp(u(x ))

   2. Des limites utiles

- lim[x ->0] (e -1)/ = 1

- lim[x ->-] x e  = 0

- lim[x ->+] e/ = +

   3. équation/ inéquation

Pour tout couple de réels a et b:

- exp(a) = exp(b) si et seulement si a=b  ,

- exp(a) < exp(b) siet seulement si a<b  .

 

Les exercices sur la fonction esponentielle

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