L'équation différentielle y' = ay + b

Plan du chapitre:

 I. Généralité.

 II. Résoudre léquation : y' = ay.

 III. Résolution de l'équation : y' = ay + b.

 IV. Probléme aux conditions initiales.

Dans la suite de ce chapitre, a et b sont deux nombres réels fixés, et le plan est muni d'un repère orthogonal (O; i; j) .

I. Généralités

Définition: Résoudre l'équation différentielle y'=ay+b, c'est déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle I telles que pour tout x  réel de I on a:

f'(x ) = af(x ) + b

L'équation y' = ay + b et appelées équations linéaires du premier ordre à coefficients constants et l'équation y' = ay équation associée sans second membre, car elle s'écrit généralement y' - ay = 0  .

II. Résoudre l'équation y' = ay

Théorème: les fonctions solution de l'équation différentielle y' = ay sont les fonctions du type :

 x ->ke^ax   , où k est une constante réelle fixer.

Démonstration:

Soit  f : x  -> e^ax  . Cette fonction et dérivable sur R et, pour tout réel x , on a f'(x ) = af(x ).

On en déduit alors que la fonction f est solution de l'équation y' = ay.

D'autre part, si k est un réelle fixé, la fonction  g : x ->ke^ax  est encore solution de l'équation, puisque, pour tout réel x ,
on a: g'(x ) = kf'(x ) = k x a x f(x ) = a x g(x )

Ceci conduit donc à chercher les fonctions dérivables y solutions de cette équation sous la forme: y(x ) = z(x ) a e^ax , où z est la fonction à déterminer.

Du fait que, pour tout réel x , e^ax  différent de 0, et que les fonctions y et f sont dérivable sur R, alors la fonction z l'est aussi. Ainsi, pour tout x  réel, il vient:

y'(x ) = z'(x )e^ax  + az(x )e^ax , soit y'(x ) = e^ax  [z'(x ) + az(x )]
      avec ay(x ) = az(x )e^ax .

Or, la fonction y est solution si, seulement si, pour tout réel x , y'(x ) = ay(x ). La fonction y est donc solution si, et seulement si, pour tout x :

 e^ax [z'(x ) + az(x )] = az(x )e^ax ,

ce qui équivaut à exp(ax )z'(x ) = 0, et donc z'(x ) = 0. La fonction z est donc constante sur R: il existe un réel k, tel que pour tout réel x  ,  z(x ) = k et donc tel que y(x ) = ke^ax   .

III. Résolution de l'équation y'=ay + b.

Théorème: Les fonctions solution de l'équation différentielle y' = ay + b sont des fonctions du type:

f(x ) = ke^ax  - b/a  , où k est une constante réelle fixée.

Attention au sens d'écriture de l'équation!

IV. Problème aux conditions initiales.

Théorème: Soit (x ₀; y₀) un couple donné de réels. Il existe une unique fonction f vérifiant l'équation y' = ay + b et telle que f(x ₀) = y ₀

Cette fonction f est définit sur R par : f(x) = (y₀ + b/a)e^{a(x - x 0)} - b/a.

Interprétation graphique:

On considère toujours l'équation différentielle: y' = ay + b.

Le théorème précèdent assure alors que par tout point I(x ₀,y ₀) fixé du plan, passe une unique courbe du type y = ke^ax  +b/a : celle dont l'équation est donnée dans le théorème.

Les exercices sur les équations différentielles

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