Donner pour chaque équation différentielle, l'ensemble des fonctions solutiuons ainsi que la fonction vérifiant la condition initiale donnée.
1. y' = 5y y(0) = 1 ;
2. 3y' = -y y(1) = -2 ;
3. y' + 2y = 0 y(-5) = 3 .
Correction de l'exercie n°1:
Les fonctions solutions sont les fonctions définies sur R par :
1. y' = 5y donc f(x) = Ce5x , avec C dans R , avec f(0) = 1 .
D'où 1 = Ce5 x 0 , C=1. Donc f(x) = e5x .
2. 3y' = -y donc f(x) = Ce-x/3 avec C dans R , avec :f(1) = -2.
D'où -2 = Ce-1/3 , C = -2e1/3. Donc f(x) = -2e(1-x)/3 .
3. y' + 2y = 0 donc f(x) = Ce-2x avec C dans R , avec : f(-5) = 3 .
D'où 3 = Ce-2 x -5 , C=3e-10 . Donc f(x) = 3e-10-2x .
Exercice n°2:
Donner pour chaque équation différentielle, l'ensemble des fonctions solutiuons ainsi que la fonction vérifiant la condition initiale donnée.
1. y' = -3y +9 , y(2) = 1 ;
2. -2y' = 4y -6 , y(-1) = 3/2 ;
3. y' +5y = -7 , y(2/5) + -3 .
Correction de l'exercice n°2:
Les fonctions solutions sont des fonctions définies sur R par :
1. y' = -3y +9 donc f(x) = Ce-3x +3 avec C dans R et f(2) = 1 .
D'où 1 = Ce-3 x 2 +3 , C=-2e6 . Donc f(x) = -2e6-3x +3 .
2. -2y' = 4y -6 donc f(x) = Ce-2x +3/2 avec C dans R et f(-1) = 3/2.
D'où 3/2 = Ce-2 x -1 +3/2 , C=0 . Donc f(x) = 3/2 .
3. y' +5y = -7 donc f(x) = Ce-5x -7/5 avec C dans R et f(2/5) = -3.
D'où -3 = Ce-5 x 2/5 -7/5 , C = -8/5e2 . Donc f(x) = -8/5e2-5x -7/5 .
Exercice n°3: "type bac"
Soit l'équation différentielle 2y' -y = x (E).
1. Montrer que la fonction fp(x) = -x-2 est solution de l'équation (E).
2. Résoudre l'équation 2y' -y = 0 (G).
3. Démontrer qu'une fonction f est solution de (E) si, et seulement si, la fonction f -fp est solution de (G).
4. En déduire les fonctions solutions de l'équation (E).
5. Déterminer la solution qui s'annule en 1.
Correction de l'exercice n°3:
1. Soit x réel , fp(x) = -x-2 donc fp'(x) = -1 , donc :
2fp'(x) -fp(x) = -2 +x +2 = x .
D'où fp est solution de (E) puisqu'elle la vérifie.
2. Les fonctions solutions de (G) sont les fonctions définies sur R par:
f(x) = Cex/2 avec C dans R.
3. Soit f solution de (E) ; alors pour tout x réel:
2f'(x) -f(x) = x, avec 2fp'(x) -fp(x) = x ,on obtient par soustraction:
2(f'(x)-fp'(x))-(f(x) -fp(x)) = 0 .
Donc 2(f-fp)'(x)-(f-fp)(x) = 0 .
Donc la fonction g = f-fp et solution de (G) par équivalence.
4. Il résulte alors de 2. et 3. qu'il exicte une constante C réelle telle que, pour tout x réel: (f-fp)(x) = Cex/2 .
D'où f(x) -fp(x) = Cex/2 soit: f(x) = Cex/2 +fp(x) = Cex/2 -x-2 .
f(1) = 0 donc Ce1/2 -3 = 0 , d'où C = 3e-1/2 .
Donc f(x) = 3e(x-1)/2 -x-2 .
