I] cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O est de rayon 1. Son périmètre est de 2π. On lit le cosinus sur l'axes des abscisses et le sinus sur l'axe des ordonnés. M(cos(x);sin(x)) est un point de ce cercle.
La relation fondamentale de trigonométrie : sin²(x) + cos²(x) = 1
Comme la fonction x→cos(x) est paire : on a cos(-x) = cos(x)
Comme la fonction x→sin(x ) est impaire : on a sin(-x) = -sin(x)
cos(π-x) = -cos(x) et sin(π-x) = sin(x)
cos(π+x) = -cos(x) et sin(π+x) = -sin(x )
cos(π/2-x) = sin(x) et sin(π/2-x) = cos(x)
II] Les formules trigonométriques
cos(a+b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b)
cos(a-b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a+b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)
sin(a-b) = sin(a) cos(b) - sin(b) cos(a)
cos(2a) = cos²(a) –sin²(a)
cos(2a) = 2cos²(a) -1
cos(2a) = 1 – 2sin²(a)
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
III] Etude des fonctions périodique
A] Périodicité
F est une fonction périodique de période T (T>0) si et seulement si T est le plus petit réel strictement positif tel que f(x+T) = f(x).
B] La Parité
cos(-x) = cos(x) : donc x→cos(x) est une fonction paire
sin(-x) = -sin(x) : donc x→sin(x) est une fonction impaire
tan(-x) = sin(-x)/cos(-x) = -sin(x)/cos(x) = -tan(x) : donc x→tan(x) est impaire
C] La fonction cosinus
- x→cos(x) est une fonction définie, continue et dérivable sur R.
- La périodicité 2π permet de réduire l’étude à un intervalle d’amplitude 2π.
- x→cos(x) est paire on peut encore réduire l’intervalle d’étude à l’intervalle [0 ; 2π].
- sur [0 ; 2π] (cos(x))’ = -sin(x)
Or sur [0 ; 2π] sin(x) ≥ 0 donc (cos(x))’ ≤ 0
x →cos(x) est strictement décroissante sur [0 ; 2π].
D] La fonction sinus
- x→sin(x) est une fonction définie, continue et dérivable sur R
- Etude sur [0 ; 2π] car x→sin(x) est périodique de période 2π et est impaire.
Sur [0 ; π/2] cos(x) ≥ 0 donc (sin(x))’ ≥ 0
Sur [π/2 ;π] 0 ≥ cos(x) donc 0 ≥ (sin( x ))’
x →sin(x) croissante sur [0 ;π/2]
x →sin(x) décroissante sur [π/2 ;π]
E] La fonction tangente
1) domaine
tan(x) = sin(x)/cos(x) il faut x ≠0 donc x ≠(π/2+kπ) (k appartenant à Z)
x →tan(x) définie sur R-{π/2 + hπ , k appartenant à Z}
2) période, parité
On étudie x →tan(x) sur [0 ;π/2] car x →tan(x) est de périodique de période π et est impaire.
3) dérivée
(tan(x))’ = 1 + tan²(x) = 1 / cos²(x)
