III. Théorème des valeurs intermédiaires
Attention, pour ceux qui n'aurait pas connaissance du programme de première S en maths sur les fonctions; il serait bon de s'abstenir de lire ce chapitre qui ne comporte pas de rappel important.
I. Limite
A] Limites au voisinage de l’infinie
M(x ; y) appartient à Cf si et seulement si y = f(x)
M(x ; f(x)) appartient à Cf
Plus x devient grand plus les f(x) deviennent grands.
Lim[x->+∞] f(x) = +∞
Quel que soit B appartenant à R+, il existera un A appartenant à R+, tel que si x>A alors f(x)>B
Définition: On dit que la fonction f admet pour limite +oo, lorsque x tend vers +oo, si les valeurs f(x) peuvent être rendues aussi grandes que l’on veut pour des valeur x suffisamment grandes. On dit alors lim[x -> +∞] f(x) = +∞
Soit V intervalle ]l-e ;l+e[ quelconque, il existe un réel A tel que si x>a alors f(x) appartenant à V.
Définition: Soit l un nombre réel, on dit que la fonction f admet pour limite l, lorsque x tend vers +oo, si tout intervalle V contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment grand.
Lin[x -> +∞] f(x) = l
Asymptote
1) lorsque lim[x -> +∞] f(x) = l
Asymptote horizontal d’équation y = l à la courbe en +∞.
2) lorsque lim[x -> +∞] f(x) = +∞
On dit que la droite (D) d’équation y = ax + b est asymptote oblique a Cf en +oo si et seulement si lim[x -> +∞] f(x) – ax +b = 0
B] Limite sur un réel
1) limite infinie
Définition : On dit que la fonction f admet pour limite +oo, lorsque x tend vers a, si les valeurs f(x) peuvent être rendues aussi grandes que l’on veut pour des valeurs x suffisamment proches de a.
On écrit alors : lim[x -> a] = +∞
2) limite finie
Définition : Soit un nombre réel, on dit que la fonction f admet pour limite l, lorsque x tend vers a, si les valeurs f(x) peuvent être rendues aussi proches que l’on veut de l pour des valeurs x suffisamment proches de a.
On écrit alors : lim[x -> a] f(x) = l
C] Opération sur les limites
Théorème : f et g sont deux fonctions ayant une limite finie ou infinie en a ou en –∞ ou en +∞.
limite de la somme f+g
| f \ g | l' | +∞ | -∞ |
| l | l+l' | +∞ | -∞ |
| +∞ | +∞ | +∞ | FI |
| -∞ | -∞ | FI | -∞ |
Limite du produit fxg
| f \ g | l' différent de 0 | +∞ | -∞ |
|
l |
lxl' | +/-∞ | +/- ∞ |
| +∞ | +/-∞ | +∞ | -∞ |
| -∞ | +/-∞ | -∞ | +∞ |
limite du quotient
| f / g | l' différent de 0 | +∞ | -∞ |
| l | l/l' | 0 | 0 |
| +∞ | +/-∞ | FI | FI |
| -∞ | +/-∞ | FI | FI |
Forme indéterminée
Pour lever les indétermination, on peut factoriser afin d’avoir des limites connues.
D] fonctions composées
1)Définition
f définie sur son intervalle I et g définie sur J tel que f(I) = J on peut alors définir la fonction composé de f par g on la note gof
2) limite
Si lim[x ->a] f(x) = b et si lim[X -> b] g(x) = c a,b,c réel ou +∞, ou –∞.
Alors par composition lim[x -> a] (gof)(x) = c
II. Continuité
Définition : on dit que la fonction f est continue en a lorsque
lim(x -> a] f(x) = f(a)
On dit que la fonction f est continue sur un intervalle lorsqu’elle est continue en tout réel a de cet intervalle
Propriété:
1) Une fonction définie en a et admettant une limite finie en a est continue en a.
2) La somme et le produit de fonction continue en a sont des fonctions continue en a.
3) l’inverse d’une fonction continue et non nulle en a est continu en a.
4) Pour une fonction f continu en a et une fonction g continue en f(a), la composée gof est continue en a.
5) les fonctions polynôme, cosinus, sinus et x -> |x| sont continues sur R.
6) les fonction rationnelle et x -> racine de x sont continues sur leur ensemble de définition
III. Théorème des valeurs intermédiaire
f définie sur [a ;b] l’image de l’intervalle [a ;b] et f([a ;b]) = [m ;M]
Soit un réel k et k appartient à [m ;M] si f continue sur [a ;b] alors il existe au moins une solution a l’équation f(x) = k
Théorème de la bijection : f est une fonction continu est strictement monotone sur [a ;b] pour tout réel k entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c dans l’intervalle [a ;b] tel que f(c) = k
IV. dérivabilité
M(x ;y) appartient à Cf équivaux à dire y=f(x) équivaux à M(x ;f(x))
Le cœfficient directeur de la droite (AM) est
(f(a+h)-f(a)) / ((a+h)-a) = (f(a+h)-f(a)) / h
Si h ->0 M se rapproche de A et la droite (AM) se rapproche de la tangente en a de Cf.
Le cœfficient directeur de (AM) se rapproche du cœfficient directeur de la tangente en A.
F est dérivable en A si et seulement si
lim[h->a] (f(a+h)-f(a)) / h = f’(a)
Théorème : Si f dérivable en a alors f est continue en a
Sa réciproque est fausse.
Opération sur les dérivées
Théorème : u et v sont deux fonctions dérivable sur le même intervalle I : alors la fonction:
- somme (u+v) est dérivable sur I et (u+v)’(x) = u’(x) +v’(x)
- produit (k x u) k appartenant à R est dérivable sur I et
(k x u)’(x) = k x u’(x)
- produit (u.v) est dérivable sur I et (u.v)’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)
- l’inverse et le quotient pour tout x appartenant à I tel que v(x) différent de 0
(1/v) est dérivable et (1/v)(x) = - v’(x) / v²(x)
(u/v) est dérivable et (u/v)’(x) = (u’(x).v(x) – u(x).v’(x)) / v²(x)
Complément sur (gof)’
1) cas où h(x) = √f(x) f>0 sur I
h est dérivable sur I.
(√f)’ = f’ / 2 √f
2) Cas où h(x) = [f(x)]ⁿ n appartenant à Z*
([f(x)]ⁿ)’ = n x f’ x f n-1
Plan d’étude d’une fonction
Symétrie
- fonction paire symétrie par rapport à l’axe des y
f paire sur Df si et seulement si
1° x appartient à Df alors –x appartient à Df
2° quelque soit x appartenant à Df f(-x) = f(x)
- fonction impaire symétrie par rapport à 0
f impaire sur Df si et seulement si
1° x appartient à Df alors –x appartient à Df
2° quel que soit x appartenant à Df f(-x) = f(x)
Lien entre fonction et dérivée
Théorème : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- si f’ est nulle sur I, alors f est constante sur I
- si f’ est strictement positive, sauf éventuellement en des points isolés où elle s’annule , alors f est strictement croissante sur I
- si f’ est strictement négative, sauf éventuellement en des points isolés où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I.
Condition d’existence d’un extremum
Théorème : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 appartient à I.
- si f admet un extremum local en x0, alors f’(x0) = 0
- si f’ s’annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.
