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Le produit scalaire dans l'espace

 
 
      I] Produit scalaire dans la plan
 

   A] produit scalaire
 
 1) u et v deux vecteurs non nulles.
u.v=||u||.||v||.cos(u,v)    les produit scalaire est un nombre réel.
 
Remarque :
 (u ;v)=-(v ;u)[2π]
 cos(v ;u) = cos(-(u ;v))=cos(u ;v)
 v.u=||v||.||u||.cos(v;u)= ||u||.||v||.cos(u;v)=u.v
 
 2) v’ est la projection orthogonale de v sur u  : u.v=u.v’
     u’ est la projection orthogonale de u sur v :  u.v=u’.v
 
 3) dans un repère orthonormé (O,i,j)
u(x ;y)  et  v(x’ ;y’)     u.v = xx’+yy’
 
Démonstration : (O ;i ;j) orthonormé donc {||i||=||j||=1 et i.j=0}
u(x ;y) alors u=xi+yj  et  v(x’ ;y’)  alors v = x’i+y’j
Donc u.v=(xi+yj)(x’i+y’j)=xx’i.i+xy’i.j+yxj.i+yy’j.j
Or i.j=j.i=0    et i.i = ||i||² = 1   et  j.j = ||j||² = 1
Donc u.v=xx’+yy’
 
 4) propriétés
a. u.v=v.u
b. u.(v+w)=u.v+u.w
c. a réel   u.(a.v)= a.(u.v)
d. ||u+v||²=||u||²+||v||²+2u.v
    ||u-v||²=||u||²+||v||²-2u.v
    ||u||²-||v||²=(u-v)(u+v)
 
  Démonstration : ||u+v||²=(u+v).(u+v)=u.u+u.v+v.u+v.v=||u||²+||v||²+2u.v
 
 
  
   B] théorème de la médiane

I milieu de [AB]

1) MA.MB=MI²-1/2 AB²

Démonstration: MA.MB=(MI+IA).(MI+IB)=||MI||²+MI.IB+IA.MI+IA.IB
                                  =MI²+MI.(IB+IA)+(-1/2 AB).(1/2 AB)     or IB+IA=O
                                  =MI² +-1/4AB²

2) MA²+MB²=2MI²+AB²/2

Démonstration: MA²+MB²=MA.MA+MB.MB=||MA||²+||MB||²=||MI+IA||²+||MI+IB||²
                                       =||MI||²+||IA||+2MI.IA+||MI||²+||IB||²+2MI.IB
                                       =2MI²+||-1/2AB||²+||1/2AB||+2MI.(IA+IB)
                                       =2MI²+1/4AB²+1/4AB²=2MI²+1/2 AB

3) MA²-MB²=2IM.AB

Démonstration: MA²-MB²=(MA-MB).(MA-MB)=(BM+MA).2MI=-AB.2MI=2IM.AB
 
 
 

   C]droites et cercles

 1) droite définie par un point et un vecteur normal

Soit (d) la droite passant par le point A et de vecteur normal n (n≠0)
M appartient à (d) ssi AM et n sont orthogonaux ssi AM.n=0
 
 2) distance d’un point à une droite

(∆) :ax+by+c=0    A(x0 ;y0)   avec H le projeté orthogonale de A sur ∆.
Soit n un vecteur normal à ∆  n(a ;b).
Alors d(A; ∆)=AH=|ax0 +by0 +c|/√(a² + b²)
 
Recherche de AH:
AH et n sont colinéaire et H appartient à (∆).
AH(xH-x0 ;yH-y0)   et n(a ;b)
AH et n sont colinéaire ssi  b(xH-x0)-a(yH-y0) = 0
                                      ssi  b.xH-b.x0+a.yH+a.y0 = 0  .
AH=√[(xH-x0)²+(yH-y0)²]
H appartient à (∆) donc a.xH +b.yH +c = 0   (*)
AH et n colinéaire  ssi  il existe k réel tel que AH=kn  .
{xH-x0 = k.a
{yH –y0  = k.b
AH=√[(k.a)²+(k.b)²] = √[k²(a²+b²)]=|k|√(a²+b²) = |k|.||n||  .   (**)
Dans (*) On remplace xH par x0 +k.a    et yH par y0+k.b  .
 a(x0+k.a) +b(y0+kb) +c = 0
d’où   ax0 + k.a²+b.y0 +k.b² +c = 0  .
 k.(a²+b²)  = -(a.x0+b.y0+c)
 n différent du vecteur nul donc a²+b²≠0 donc k = -(a.x0+b.y0+c)/(a²+b²)  .
On remplace dans (**) d’où  AH = |-(a.x0+b.y0+c)/(a²+b²)|.√(a²+b²)
D’où  AH = |a.x0+by0-c|/√(a²+b²)
 
Remarque: AH.n=d(A; ∆)=|AH.n|/||n||
 
  3) Cercles

- C cercle de centre Ω(a ;b) et de rayon R,  M(x ;y).
M appartient à C ssi   ΩM=R  ssi  (ΩM)²=R²
                            Ssi  (x-a)²+(y-b)²=R²
 
- C cercle de diamètre [AB]
M appartient à C[AB]  ssi  MA.MB=0  ssi  (x-xA)(x-xb)+(y-yA)(y-yB)=0
 

 
     II]Produit scalaire dans l’espace
 
 
  A] Diverse expression du produit scalaire
 
 1) definition

 On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v de l’espace le nombre réel noté u.v definie par :
u.v=1/2[||u||²+||v||²-||u-v||²]
Dans un repere (O ;i ;j ;k) orthonormé et avec u(x ;y ;z) v(x’ ;y’ ;z’)
On a  u.v = x.x’+y.y’+z.z’  .
Toute les propriété du produit scalaire établi dans le plan s’applique dans l’espace à des vecteurs coplanaires.
 
Consequence : deux vecteurs étant toujours coplanire. On a donc u.u=||u||²  et  u.v=v.u  .
(k.u).v = k.(u.v)     ||u+v|| = ||u||²+||v||²+2u.v
 
 2) formule avec la cosinus

u.v=||u||.||v||.cos(u ;v)  .
 
 3) propriété

u.(v+w)=u.v+u.w
 
4) orthogonalité
 
a) u.v=0   ssi   u perpendiculaire à v  ou  u=0 ou v=0   .
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux   ssi  leur produit scalaire est nul.
b) Orthogonalité de deux droites dans l’espace.
    (d) de vecteur directeur u  et (d’) de vecteur directeur u’  .
    (d) orthogonale à (d’)   ssi u orthogonale à u’  .
c) Orthogonalité’ de deux droites dans le plan
    (d) de vecteur directeur u et P un plan.
Les proposition suivante sont équivalentes.
-(d) est orthogonale à P
-pour tous point M et N de P  u.MN=0
-Pour tous couple (v ;v’) de vecteur directeur du plan.
On a u.v=0  et u.v’=0
(v ;v’) vecteur directeur de P   ssi   (v ;v’) base de P  ssi  v et v’ sont non colinéaire.
 
 
   B] vecteur normal à un plan
 Etant donné à un plan P tous vecteur directeur d’une droite orthogonale à P est appelé vecteur normale à P .
 
 Théorème : Soit A un point et n un vecteur non nul.
L’ensemble des point M de l’espace tel que AM.n=0 est un plan de l’espace.
Réciproquement : soit P un plan de l’espace et A un point de P.
Quelque soient le point A de P et n un vecteur normal à P on a P est l’ensemble des points M tel que  AM.n=0
 
Remarque : P est le plan passant par A de vecteur normal n.
AM.n=0  ssi  M=O ou (AM) perpendiculaire à (d)
                Ssi  M est dans le plan passant par A et orthogonal à (d)  .
 
 

     III] Géométrie analytique dans l’espace.
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ;i ;j ;k)
 

   A] Expression du produit scalaire.
 
 u(x ;y ;z)  et u’(x’;y’;z’)
u.u’=x.x’+y.y’+z.z’
en effet u=x.i+y.j+z.k  et  u’=x’.i+y’.j+z’.k
On calcul (u.u’) et on utilise : ||i||=||j||=||k||=1   et i.j=i.k=k.j=0  .
 
 
   B] Norme et distance
 
||u||=√(x²+y²+z²)
soient A(xA ;yA ;zA) et B(xB ;yB ;zB) deux points 
AB=√[(xB-xA)²+(yA_yB)²+(zA-zB)²]   .
 
 
   C] équation d’un plan
 
 P passant par A(x0 ;y0 ;z0) et de vecteur normal n(a ;b ;c)
M(x ;y ;z) appartient à P  ssi  AM.n=0 
                                         Ssi  (x-x0).a)+(y-y0).b+(z-z0)c=0
                                         Ssi  ax+by+cz+d =0   avec d=-a.x0-b.y0-c.z0
 
Réciproquement : Soient a,b,c 3 réels non tous nuls.
Montrons que l’ensemble des points M(x ;y ;z)  (E) tels que a.x+b.y+c.z+d=0 est un plan de vecteur normal n(a ;b ;c)  .
A,b,c non tous nul soit par exemple : a≠0  .
Le point A(-d/a ;0 ;0) est un point de (E)  , en effet  a.(-d/a)+b.0+c.0+d=0   .
M(x ;y ;z) appartient à (E)  ssi  a.x+b.y+c.z+d=0  .
B(x0 ;y0 ;z0) appartient à (E)  ssi  a.x0+b.y0+c.z0+d=0
 (il existe au moins un point B dans E :le point A)
M(x ;y ;z) appartient à (E)  ssi  a.x+b.y+c.z+d= a.x0+b.y0+c.z0+d
                                            Ssi  a.(x-x0)+b.(y-y0)+c.(z-z0)=0
                                            Ssi  BM.n=0   .
B,M sont des point de (E)  n est orthogonal à (BM)     (quelque soit M dans E)  donc n est un vecteur normal de E  .
Conclusion P plan passant par B(x0 ;y0 ;z0) et de vecteur normal n .
M(x ;y ;z) appartient à P  ssi  BM=0  ssi  ax+by+cz+d=0 .
 
Remarque : équations des plans de base.
Dans un repère  (O ;i ;j ;k)
Les plan sont : (x0y) qui a pour vecteur normal k.
                        (y0z) qui a pour vecteur normal i.
                        (x0z) qui a pour vecteur normal j.
 
Le plan (x0y) a pour équation  z=0 .
Le plan (y0z) a pour équation  x=0 .
Le plan (x0z) a pour équation  y=0 .
 
 
 
   D] Distance d’un point à un plan
 
P un plan passant par A et de vecteur normal n (n non nul)  .
On cherche  d(M ;P)  M un point de l’espace.
Soit H le projeté orthogonal de M sur P  d(M ;P)=MH  .
MH est colineaire à n donc il existe α réel tel que  HM= α.n  .
AM.n=(AH+HM).n=AH.n+HM.n
N vecteur normal à P donc orthogonal à tout vecteur de P donc en particulier à AH  
donc AH.n=0
Il reste  AM.n= HM.n = α.n.n= α.||n||²  .
Donc α= AM.n/||n||²    (n non nul)
Donc HM= (AM.n/||n||²).n
 
Théorème : P plan passan tpar A et de vecteur normal n non nul
La distance d’un point M de l’espace au plan P et d(M ;P)=|AM.n|/||n||
 
Corolaire P le plan d’equation  ax+by+cz+d=0   (a,b,c) ≠(0,0,0)  et M(x0 ;y0 ;z0)  .
La distance de M à P est  s(M,P)=|ax0+by0+cz0+d|/√(a²+b²+c²)
 
P :ax+by+cz+d=0 un vecteur normal de P est n(a,b,c)
 
On a A appartient à P avec A(xA ;yA ;zA)  et AM(x0-xA ;y0-yA ;z0-zA)  et nn(a ;b ;c)   .
AM.n = a.(x0-xA)+b.(y0-yA)+c.(z0-zA)= a.x0+b.y0+c.z0-a.xA-b.yA-c.zA  .
 
Or A appartient à P  donc  a.xA+b.xA+c.zA+d=0
Donc il reste AM.n=a.x0+b.y0+c.z0+d=0  .
Or d(M,P)=|AM.n|/||n||  donc  d(M ;P)=|a.x0+b.y0+c.z0+d|/√(a²+b²+c²)  .
 
 
   E] Plan médiateur d’un segment

A,B deux points de l’espace, I milieu de [AB]  .
Définition : Le plan médiateur de [AB] est le plan orthogonale à (AB) et passant par I milieu de [AB] .
 
Propriété : Le plan médiateur de [AB] est l’ensemble des point M de l’espace équidistant de A et de B. M appartient au plan P  ssi  MA=MB
 
F]Sphère
S une sphère de centre I(a ;b ;c) et de rayon R.
M(x ;y ;z) appartient à S  ssi  IM=R  ssi  IM²=R²  
                                         Ssi  (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²
Sphère de diamètre [AB] M appartient à S[AB]  ssi  MA.MB=0 .

 
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