L'ensemble des entiers {0;1;2;3...} est appelé ensemble des entiers naturels et noté N.
L'ensemble des entiers {-3;-2;-1;0;1;2;3...} est appelé ensemble des entiers relatifs et noté Z.
N est une partie de Z ; N est inclus dans Z.
La somme et le produit de deux entiers naturels sont des entiers naturels.
La somme et le produit de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.
Les propriétés suivantes sont admises.
o Toute partie non vide de N a un plus petit élément.
o Toute partie non vide de N majoré a un plus élément.
o Propriété d'archimede : Soit b un entier naturel non nul.
Pour tout entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < nb
II. Diviseur d'un entier relatif
A) Définition
a et b sont deux entier relatifs, s'il existe un entier relatif k tel que
b = k x a on dit que a divise b.
B) Propriété
a, b, c sont des entiers relatifs quelconques non nuls.
1. 1, -1, a, -a sont des diviseur de a.
Si a divise b alors -a divise b, a divise -b et -a divise -b.
2. Si a divise b et si b divise a, alors a = b ou a = -b.
3. Si a divise b et si b divise c, alors a divise c.
4. Si a divise b alors pour tout entier relatif c, ac divise bc.
C) théorème
o Si un entier d divise deux entier a et b alors d divise toute combinaison linéaire à coeficients entier de a et de b.
Cela donne: Si d divise a et ddivise b alors d divise ka + k'b
o d et n sont deux entiers naturels non nuls, si d divise n alors
1 < d < n.
III. Division euclidienne dans Z
A) Division euclidienne d'un entier relatif par un entier naturel non nul
Théorème : a est un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe un unique entier relatif q et un unique entier naturel r tel que : a = bq + r et 0< r < b . a est le dividende, b le diviseur, q le quotient euclidien et r le reste.
Remarque si r = 0, alors a est divisible par b.
B) Extension au cas b est un entier relatif non nul
Théorème: a étant un entier relatif et b un entier relatif non nul, il existe un unique couple d'entiers (q ;r) tels que a = bq + r et
0< r < |b| q est le quotient euclidien de a par b et r est le reste.
