Plan du chapitre:
I] Quelle est l'influence d'une bobine dans un circuit électrique ?
II] Quelles sont les caractéristiques d'une bobine?
III] Quelle est la réponse d'un dipôle (R, L) à un échelon de tension?
IV] Quelle est l'énergie stockée dans une bobine?
Nous avons utilisé des bobines [Doc.1] parcourues par des courants pour produire des champs magnétiques. Les bobines peuvent avoir d'autre applications que nous étudions dans ce chapitre.
I] Quelle est l'influence d'une bobine dans un circuit électrique ?
Des bobines sont utilisées dans de nombreux circuits électroniques. Quelle est leur influence sur le courant?
Activité 1 :
Comment s'établit le courant dans un circuit comportant une bobine?
* Mesurer à l'ohmmètre la valeur de la résistance r de la bobine à noyau de fer.
* Réaliser le montage du document 2 ; ajuster la valeur de la résistance R pour qu'elle soit égale à r. Les lampes L1 et L2 sont identiques.
* fermer l'interrupteur K et observer l'éclat des lampes.
1. Les deux lampes brillent-elles instantanément ?
2.Comparer leurs éclats au bout de quelques secondes.
> observation et interprétation
La lampe L1 brille aussitôt après la fermeture de l'interrupteur, alors qu'il faut quelques instants pour que la lampe L2 brille normalement, avec le même éclat que L1. L'établissement du courant dans une branche comportant une bobine est progressif.
-> Une bobine s’oppose transitoirement à l’établissement du courant dans un circuit. Son effet se manifeste lorsque l’intensité du courant varie.
II] Quelles sont les caractéristiques d'une bobine?
Quelle est la relation entre la tension aux bornes d'une bobine et l'intensité du courant qui la traverse [doc.3]? Quelle grandeur caractérise une bobine?
1. L'inductance d'une bobine.
Activité 2
Quelle est l'expression de la tension aux bornes d'une bobine?
* Réaliser le montage du document 4 en utilisant une bobine de très faible résistance est un générateur de signaux sinusoïdaux.
* les voies Y1 et Y2 sont reliées au système d'acquisition d'un ordinateur. Réaliser l'acquisition.
1. Quelle est la tension détectée par la voie Y1 ? détectée par la voie Y2 ? en Affichant Y1-Y2 ?
2. Comment afficher la courbe représentant uAB en fonction de (di/dt) ? Afficher la courbe.
3. Quelle est la relation entre uAB et (di/dt) ?
> Observation
Le graphique représentant uAB en fonction de di/dt est une droite passant par l’origine [Doc.5].
> Interprétation
La tension uAB aux bornes de la bobine de faible résistance est proportionnelle à la dérivée di/dt de intensité i du courant qui la traverse. Le coefficient de proportionnalité, positif, est appelé inductance de la bobine ; il est noté L .
Nous avons donc: uAB = L.di/dt
-> Une bobine est caractérisée par son inductance L.
L'inductance L se mesure en henry (H), uAB en volt (V) et di/dt en ampère par seconde (A.s-1).
La valeur de l'inductance d'une bobine est souvent faible, inférieure à 1 H [Doc.6].
Aussi, utilise-t-on très souvent le millihenry : 1 mH = 10-3 H .
Un noyau de fer placé dans la bobine augmente considérablement l'inductance de la bobine.
2. Relation entre l'intensité et la tension.
Généralement, une bobine possède une résistance r, non négligeable. Dans ces conditions, une bobine est caractérisée par son inductance L et sa résistance r que l'on peut mesurer avec un ohmmètre. On schématise une bobine (L,r) par l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance r et d'une bobine, de résistance nulle et d'inductance L [Doc.7].
D'après la loi d'additivité des tensions : uAB = uAC + uCB = r.i +L.di/dt .
-> · La tension uAB aux bornes d’une bobine (L,r), représentée par une flèche orienté de A vers B, est donnée par la relation :
uAB = r.I + L.(di/dt) .
· Lorsque la bobine est parcourue par un courant d’intensité constante (régime permanent), (di/dt) = 0 et uAB = r.i : la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.
Lorsque l'intensité i du courant dans la bobine varie et lorsque le terme r.i est négligeable devant le terme L.di/dt , alors uAB = L.di/dt.
Si la variation de i est très rapide, di/dt peut prendre une valeur très importante ; il en est de même de L.(di/dt) : une tension importante peut alors apparaître aux bornes de la bobine. C'est le phénomène de surtension [Doc.8].
Ce phénomène est à l'origine de l'apparition d'une étincelle entre les lames d'un interrupteur lors de son ouverture dans un circuit comportant des bobines (document 9).
III] Quelle est la réponse d'un dipôle (R, L) à un échelon de tension?
L'activité 1 a montré que l'établissement du courant dans un circuit comportant une bobine s'effectue avec un certain retard. Etudions ce phénomène.
1 étude expérimentale.
Activité 3
Comment varie l'intensité du courant dans une bobine (L, r) soumise à un échelon de tension?
* Réaliser le montage du document 10 et fermer l'interrupteur.
* Visualiser le courant en branchant, aux bornes d'un conducteur ohmique r', un oscilloscope numérique ou la carte d'acquisition d'un ordinateur.
1. Que visualise-t-on sur la voie Y1 ? Justifier le terme échelon de tension.
2. Que visualise-t-on sur la voie Y2 ? Comment varie i?
> Observation
Sur la voie Y1, nous visualisons la tension uAM aux bornes du générateur ; sa valeur passe brutalement de la valeur 0 à la valeur E : c'est un échelon de tension [Doc.11].
Sur la voie Y2, nous visualisons la tension uBM = r’.i, qui varie comme l'intensité i [Doc.11]. Nous constatons que le courant ne s'établit pas instantanément dans le circuit, la durée pendant laquelle le courant s'établit progressivement correspond au régime qualifié de transitoire. L'intensité i passe progressivement de la valeur nulle à la valeur Ip, intensité du courant en régime permanent : il n'y a pas discontinuité de l'intensité.
> Interprétation
La courbe i(t) a une forme comparable à la courbe exponentielle de l'évolution de la tension uC(t) aux bornes du condensateur d'un dipôle (R, C) soumis à un échelon de tension.
L'étude théorique (voir le paragraphe 3.3) confirmera que l'évolution de i(t) est bien exponentielle.
Le phénomène, transitoire, est caractérisé par une constante de temps τ que l'on peut déterminer graphiquement à partir de la tangente à la courbe i(t) à la date t = 0 [Doc.12] .
* Au bout d'une durée τ après la fermeture de l'interrupteur, l'intensité atteint 63 % de sa valeur limite Ip du régime permanent.
* Au bout de 5τ l'intensité a quasiment atteint la valeur Ip .
-> L’établissement du courant dans une bobine soumis à un échelon de tension est un phénomène transitoire caractérisé par une constante de temps τ.
La durée t1/2 , au bout de laquelle i=0 ?5 Ip, est telle que
t1/2 = τ.ln2 .
2. La constante de temps
Une bobine d'inductance L et de résistance r associée à un conducteur ohmique de résistance r', constitue un dipôle (R, L ) tel que R = r + r' .
Acticité 4
Quelle est l'influence des caractéristiques du circuit sur la constante de temps τ?
· Reprendre le montage du document 10.
· Observer l'influence :
- de la f.é.m E réglable du générateur de tension ;
- de la résistance R, en modifiant la valeur de r' ;
- de l'inductance L, en utilisant des bobines d'inductances différentes.
Déterminer la constante de temps τ pour chacun des dipôles (R, L) et comparer sa valeur au quotient L/R.
> Observation
Lorsque nous augmentons E, l'intensité Ip du courant correspondant au régime permanent augmente, mais nous ne modifions pas la durée du régime transitoire [Doc.13].
La constante de temps dépend de L et de R , elle augmente avec L et diminue avec R.
> interprétation
Nous montrons expérimentalement que τ et L/R ont des valeurs numérique égales. Vérifions que est homogène à une durée.
D'après la relation uAB = L.di/dt +R.i , en considérant les unités, nous
avons :
· R=u/i exprimé en Ohms ou en V.A-1 ;
· L=u/(di/dt) exprimé en H ou V.A-1.s ;
donc L/R, qui s'exprime en seconde, est homogène à une durée.
-> Le rapport L/R, homogène à un temps, est la constate de temps τ du dipôle(R,L).
τ s’exprime en seconde (s), avec L en Henry (H) et R en ohm (Ω)
Exercice d’entrainement : Détermination d'une inductance
A partir de la courbe du document 14, déterminer:
a. la constante de temps du dipôle (R, L);
b. la valeur de l'inductance L, sachant que R= 2,0 Ohms .
a. On trace la tangente à la courbe à l'origine. τ est l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale. On obtient T = 0,40 s.
b. L = R.τ ; soit numériquement : L = 2,0 . 0,40 ; d'où : L = 0,80 H.
3. étude théorique.
> équation différentielle
Raisonnons sur le circuit du document 15.
A l'instant t = 0 (fermeture du circuit), l'intensité i du courant dans le circuit est nulle.
Pour t > 0, uAM = E et la loi d'additivité des tensions donne :
E = uAB + uBM = r.i + L.di/dt + r'.i
Posons R = r + r', résistance du dipôle (R, L ).
Nous avons alors E = L.di/dt +R.i ; soit :
E/R = L/R.di/dt + i
Avec τ=L/R et Ip = E/R, l'intensité en régime permanent, nous obtenons : Ip = τ.di/dt + i .
Cette équation différentielle régit l'évolution temporelle de l'intensité du courant dans le circuit lorsque nous fermons l'interrupteur K.
> solution de l'équation
Une solution de cette équation est de la forme : i = Ip.(1-e-t/τ) .
Lorsque t tend vers une valeur infinie, l'exponentielle exp(-t/τ) tend vers zéro et i tend vers Ip. Lorsque le régime permanent est atteint, la bobine se comporte alors comme un conducteur ohmique dont la résistance est égale à celle de la bobine.
La solution doit vérifier les conditions initiales : à t = 0 , nous avons : i(0) = 0.
A l'instant t = 0, (di/dt)o =Ip/τ : la tangente à la courbe , a l’origine O, coupe l’asymptote i = Ip pour t = τ .
-> L’évolution de l’intensité i du courant dans une bobine soumise à un echelon de tension est donnée par l’équation différentielle:
Ip = τ. di/dt +i de solution i = Ip . (1- e(-t/τ)) avec τ=L/R la constante de temps et Ip = E/R l’intensité du courant en régime permanent.
IV] Quelle est l'énergie stockée dans une bobine?
L'expérience réalisée avec la lampe au néon montre qu'une bobine, après avoir été traversée par un courant, peut se comporter brièvement comme un générateur et fournir l'énergie nécessaire à l'éclairage momentané de la lampe.
Activité 5
Comment mettre en évidence qu'une bobine stocke de l'énergie magnétique?
* Réaliser le montage du document 16, il comporte un moteur et une bobine d'inductance importante.
* Fermer l'interrupteur K puis l'ouvrir.
* Observer le moteur.
Pourquoi cette expérience montre-t-elle que la bobine peut emmagasiner de l'énergie?
> Observation
Lorsque nous ouvrons l'interrupteur, le moteur tourne et fournit donc du travail. Cette énergie lui est fournie par la bobine.
> Interprétation
-> L’énergie magnétique Em emmagasinée dans une bobine d’inductance L, parcourue par un courant d’intensité i, est égale à :
Em = ½.L.i²
Avec Em en joule (J), l en henry (H) et i en ampère (A).
L'énergie Em ne passe pas instantanément d'une valeur à une autre, si c'était le cas, il y aurait transfert d'énergie en un intervalle de temps quasiment nul et la puissance transférée serait infinie, ce qui est inconcevable. Si Em ne subit pas de discontinuité, l'intensité du courant dans la bobine n'en subit pas non plus.
-> L’intensité du courant dans une bobine ne subit pas de discontinuité.
C'est pour cette raison que l'on observe une étincelle de rupture qui prolonge la circulation du courant lors de l'ouverture d'un circuit comportant une bobine.
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