I. Quel est le comportement d'un condensateur dans un circuit électrique?
II. Quelle est la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension?
III. Quelle est l'énergie stockée dans un condensateur?
I. Quel est le comportement d'un condensateur dans un circuit électrique ?
Le condensateur comporte deux armatures métalliques en face une de l'autre est séparées par un isolant appelé le diélectrique ( air, papier, céramiques...).
1) La charge électrique sur les armatures
Le rôle d'un condensateur et de stocker des charges électriques. Comment charger un condensateur ?
>Observation
Lorsque nous fermons l'interrupteur, la lampe s'éclaire, puis s'éteint progressivement. Le voltmètre indique une tension aux bornes du condensateur, même après que la lampe se soit éteinte.
>Interprétation
Le courant est transitoire, de courte durée. Se courant étant dû à un déplacement d'électrons dans le circuit, il provoque une accumulation d'électrons sur l'armature B reliée à la borne (-) du générateur et un défaut d'électrons sur l'armature A. L'armature A, reliée à la borne (+), se charge positivement et l'armature B négativement. Une tension électrique apparaît entre les armatures ; le condensateur se charge.
Le courant ne peut circuler durablement car le circuit est coupé par la présence d'un isolant : le diélectrique du condensateur.
Nous admettrons qu'a chaque instant, les armatures A et B portent des charges électriques opposées, de même valeurs absolues: qA = -qB Ces charges s'expriment en coulomb (C).
Un condensateur, branché à un générateur de tension continue, accumule sur ses armatures des charges électriques de même valeur, mais de signe opposés.
2) Charge électrique et intensité
Notons i l'intensité du courant transitoire. Quelle est la relation entre l'intensité i et les charges électriques qA et qB portées par les armatures?
Orientons le circuit pour algébriser l'intensité i :
- si le courant circule dans le sens d'orientation choisi, alors i > 0;
- si le courant circule dans l'autre sens, alors i < 0.
En régime transitoire, les charges électriquesqA et qB, ainsi que l'intensité du courant sont des fonctionsdu tenps, nous noterons qA(t), qB(t) et i(t).
Supposons i positif. Pendant une durée d(t), l'armature B reçoit des électrons, l'armature A en perd; cette dernière devient de plus en plus positive : sa charge électrique augmente. Entre les instants t et t + d(t), la charge positive de l'armature A s'acroit de : dqA = qA(t+dt) - qA(t).
Durant la durée dt, le courant a donc transporté la charge électrique dqA.
Par définition, l'intensité i du courant correspond au début de charges transportées, c'est à dire la charge électrique transportée par unité de temps : i = dqA / dt
L'intensité i s'exprime en ampère (A), avec q en coulomb (C) et t en seconde (s).
La charge électrique qA(t) est une fonction du temps dont i(t) est la dérivée.
Si la fonction qA possède une dérivée dqA / dt = I constante, alors qA est une fonction linéaire ou affine de la forme qA = I.t + q0.
Si à t = 0, le condensateur n'est pas chargé, alors q0 = 0 et qA = I.t
3) La capacité d'un condensateur
Chargeons un condensateur avec un courant intensité constante. Comment évolue la tension uAB aux bornes des armature A et B en fonction de la charge électriques des armatures ?
> observation
Le graphique représentant qA en fonction de uAB est une droite passant par l'origine, à coefficient directeur positif.
La charge qA et la tension uAB sont deux grandeurs proportionnelles.
Nous avons : qA= C . uAB . Le coefficient de proportionnalité positif C est la capacité du condensateur.
A chaque instant, la charge électrique qA de l'armature A du condensateur est proportionnelles à la tension uAB aux bornes de ses armatures A et B : qA = C . uAB
C est la capacité du condensateur; elle s'exprime en farad (F), avec qA en coulomb et uAB en volt (V).
Le farad correspond à une grande capacité. On emploie usuellement les sous-multiples : microfarad , nanofarad, picofarad.
II. Quelle est la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension
L'association en série d'un condensateur de capacité C et d'un conducteur ohmique de résistance R constitue un dipôle (R,C).
Étudions comment se charge le condensateur d'un tel dipôle lorsque nous appliquons une tension entre ses bornes.
1) étude expérimentale
Étudions l'évolution de la charge électrique du condensateur lorsque la tension entre les bornes d'un dipôle RC passe brusquement de 0 à une valeur constante E; cette évolution de la tension est appelée un échelon de tension.
>Observation
La tension uDB (voie Y1) appliquée au dipôle RC passe quasi instantanément d'une valeur nulle à la valeur E correspondant au palier observée: le dipôle RC est soumis à un échelon de tension.
La tension uAB (voie Y2) aux bornes du condensateur est nulle avant la fermeture de l'interrupteur. Elle augmente ensuite progressivement de la valeur nulle jusqu'à la valeur limite E (fin de la charge). Cette tension décrit l'évolution de la charge du condensateur ( au coefficient constant C prés) puisque qA = C . uAB .
La différence Y1 - Y2 donne la tension aux bornes du conducteur ohmique:
uDB - uAB = uDA = R . i ,
Soit l'évolution de l'intensité i du courant ( au coefficient constant R près).
D'après la courbe du document si dessus, l'intensité i du courant est nulle avant la fermeture de l'interrupteur est égal à E/R juste après la fermeture. cette intensité décroit ensuite jusqu'à zéro.
Le condensateur d'un dipôle RC , soumis à un échelon de tension, ne se charge pas instantanément : la charge d'un condensateur est un phénomène transitoire.
2) La constante de temps
Selon le dipôle RC étudié, la tension uAB aux bornes des armatures tend plus ou moins rapidement vers sa valeur limite E. De même, la charge électrique qA, proportionnelle à la tension uAB, tend plus ou moins rapidement vers sa valeur limite qAmax = C . E .
Quels paramètres influent sur le phénomène de charge d'un condensateur ?
>Reprenons l'activité précédente
Au même condensateur, associons un conducteur ohmique de résistance plus grande : le condensateur se charge plus lentement .
Au même conducteurs ohmique associons un condensateur de plus grande capacité : le condensateur se charge plus lentement.
La durée de charge du condensateur d'un dipôle RC augmente quand la valeur du produit R.C augmente.
>Procédons à une analyse dimensionnelle du produit R.C en raisonnant sur les unités :
R = U/I s'exprime en Ohm , équivalent à V/A;
C = Q/U = I.t/U s'exprime en Farad (F) équivalent à A.s/V
Finalement: R.C s'exprime en V/A.A.s/V, soit en seconde (s).
Le produit R.C = T, homogène à une durée, est la constante de temps du dipôle RC. T s'exprime en seconde (s), R en Ohm et C en farad (F).
3) étude théorique
Le condensateur étant orienté de l'armature A vers l'armature B, pour alléger les notations, nous noterons désormais la charge du condensateur qA = q et la tension à ses bornes uAB = uC.
>équation différentielle
Reprenons le circuit électrique utilisé lors de l'étude de la charge du condensateur:
La loi d'additivité des tensions donne : E = uAB + uDA .
Avec uDA = R . i et q = C . uC , nous avons : i = d(q)/d(t) = C . d(uC)/d(t) .
Finalement : E = R . C . d(uC)/d(t) + uC , soit E = T . d(uC)/d(t) +uC) , T constante de temps.
Nous reconnaissons une équation différentielle dans laquelle apparaît uC, fonction du temps, et sa dérivée d(uC)/d(t) .
> Solution de l'équation différentielle
On montre, en mathématique, que la solution de cette équation est: uC = E (1-exp(-t/T))
En portant les expression uC = E (1-exp(-t/T)) et d(uC)/d(t) = E/T . exp(-t/T)
dans l'équation différentielle à laquelle obéit uC, nous constatons qu'elle est vérifiée.
Par ailleurs, nous obtenons bien uC = 0 à t=0 (charge électrique nulle au départ) et uC tend vers E quand t tend vers l'infini (fin de la charge).
>Signification physique de T
L'équation uC = E . (1-exp(-t/t)) montre qu'a l'instant t = T = R . C, nous obtenons :
uC(t) = E (1-exp(-1)) = 0,63.E et q(t) = 0,63.C.E .
La constante de temps T donne l'ordre de grandeur de la durée de la charge du condensateur.
Après une durée égale à T, la charge du condensateur atteint 63% de sa valeur maximale.
Après une durée égale à 5T, le condensateur est chargé à 99%.
La constante T peut être déterminée graphiquement.
>Expression de l'intensité du courant
L'intensité i du courant vaut :
i = d(q)/d(t) = C . d(uC)/d(t) = C . E/T . exp(-t/T)
soit : i = Io . exp(-t/T) , avec Io = E/R
L'intensité du courant décroit exponentiellement avec le temps depuis sa valeur initiale
Io = E/R et tend vers zéro lorsque t tend l'infini.
Lorsque le condensateur est chargé, intensité du courant est nulle.
III. Quelle est l'énergie stockée dans un condensateur ?
Un condensateur peut être utilisé pour stocker de l'énergie.
> observation
Lorsque le commutateur est en position en 1, le condensateur se charge instantanément. Lorsque le commutateur est placé en position 2, le moteur tourne et soulève la masse marquée. La tension aux bornes du condensateur décroit : le condensateur se décharge.
> interprétation
Le condensateur chargé possède de l'énergie. Celle-ci est transmise au moteur qui, en effectuant un travail mécanique, augmente l'énergie potentielle de la masse suspendue.
Au cours de la charge, un condensateur emmagasine de l'énergie qui restitue lors de la décharge.
On montre que l'énergie électrique emmagasinée Ee dépend de la capacité C du condensateur et de sa charge électrique q (ou de la tension uC entre ces armatures).
Le énergie électrique stockée par le condensateur est :
Ee = 1/2 C . uC² = 1/2 . q²/C .
Ee s'exprime en joule (J) avec C en farad (F), uC en volt et q en coulomb (C).
Le stockage ou le déstockage de l'énergie ne peut pas se faire instantanément ; la puissance serait alors infinie. L'énergie ne subit pas de discontinuité.
D'après la formule Ee = 1/2 . C . uC² , la tension uC (ou la charge q) aux bornes d'un condensateur ne subit pas de discontinuité. Dans le cas du flash, la décharge est tres rapide, la puissance électrique fournie est importante.
