Plan du chapitre:

I] Que se passe-t-il lorsqu'on relie un condensateur chargé et une bobine?
II]Quelle loi décrit l’évolution temporelle d'un circuit oscillant (L,C) ?
III]Comment s’effectuent les échanges, d'énergie dans un circuit oscillant?
IV]Comment peut-on entretenir des oscillations non amorties?

Une bobine et un condensateur constituent deux réservoirs d'énergie électrique. Étudions ce qui se passe lorsqu'un condensateur chargé est branché aux bornes d'une bobine.

I] Que se passe-t-il lorsqu'on relie un condensateur chargé et une bobine?

 Un circuit comportant un conducteur ohmique de résistance r', une bobine d'inductance L et de résistance r et un condensateur de capacité C associés en série, est appelé circuit (R, L, C) série. R = r + r'  est la résistance totale du circuit.

    1. Observation d'oscillation électriques

 Étudions l'évolution de la tension aux bornes d'un condensateur chargé, branché aux bornes d'une bobine.

  Activité 1:  Comment évolue la tension aux bornes d'un condensateur chargé branché aux bornes d'une bobine ?

* Réaliser le montage du document 1 en adoptant une faible valeur de r'.
* Charger le condensateur en plaçant le commutateur en position 1,.
* Basculer le commutateur en position 2. La voie Y1 est reliée au système d'acquisition d un ordinateur. Réaliser  l'acquisition et visualiser la tension u_AM .
1. Quelle est la valeur maximale prise pas la tension u_AM lorsque le commutateur est en position 1 ?
2. Décrire et interpréter ce que l'on observe sur l'écran de l'ordinateur après avoir basculé la commutateur en position 2.

> Observation

 Pour une faible valeur de la résistance R = r + r', nous observons [Doc.2] des oscillations de la tension électrique aux bornes du condensateur dont l'amplitude décroit : ce sont des oscillations libres amorties.

> interprétation
 En plaçant le commutateur en position 1, la tension u_C = u_AM prend la valeur E. Lorsque le commutateur passe en position 2, le condensateur se décharge dans le conducteur ohmique et la bobine.
La tension u_AM est alternativement positive et négative ; nous observons la répétition de séquences du type de celle représentée en bleu sur le document 3.

 La durée T d'une telle séquence est appelée la pseudo-période des oscillations électriques. On utilise le terme pseudo-période, et non celui de période, car l'amplitude de la tension ne reste pas constante.
 
 -> Pour une faible valeur de la résistance R, un circuit (R,L,C) série, réalisé avec un condensateur initialement chargé, est le siège d’oscillations électriques libres amorties. La pseudo-période T est la durée entre deux passages consécutifs par une valeur nulle de la tension, celle-ci variant dans le même sens.

     2. étude de l'amortissement des oscillations

 Quel est le rôle joué par la résistance d'un circuit (R, L , C) série?

 Activité 2 :  Quelle est l'influence de la valeur de la résistance R du circuit sur les oscillations?
* Reprendre l'expérience de l'activité 1 en attribuant à r' des valeurs de plus en plus grandes.
* Pour chaque nouvelle valeur de r', et donc de R = r + r'    visualiser les oscillations électriques.
1.Quelle est l'influence d'une augmentation de la valeur de la résistance?
2.Qu'observe-t-on pour une très grande valeur de la résistance?
3.La pseudo-période T dépend-elle de R ?

> Observation

Pour de faibles valeur de R, nous observons des oscillation [Doc.4] dont l'amplitude décroit progressivement : c'est le régime pseudo-périodique.
Lorsque la valeur de R est très faible, proche d'une valeur nulle, les oscillations   durent longtemps l'amortissement est faible [Doc.5]. La pseudo- période est alors indépendante de R.

Pour des valeurs élevées de R, les oscillations disparaissent [Doc.4] : la tension u_AM tend lentement vers zéro : c'est le régime apériodique.
La valeur de R qui délimite les deux régime précédents est appelée résistance   critique on la note Rc.
Pour R = Rc , la tension tend le plus: rapidement vers zéro sans oscillations [Doc.4]   c'est le régime critique.

     2. Etude de la pseudo période

Activité 3 :  Qu'observe-t-on lorsqu'on modifie les valeurs de C du de L?
Utiliser le montage de l'activité 1 et se placer dans le cas du régime pseudo- périodique quelle est l'influence de L et de C sur la pseudo-période?

 > Observation
 Pour une valeur donnée de la capacité C, la pseudo-période augmente avec la valeur de l'inductance L de la bobine Pour une valeur donnée de l'inductance L, la pseudo-période augmente avec la capacité C du condensateur .

-> La pseudo-période T d’un circuit (R,L,C) augmente avec la capacité C et avec l’inductance L.

II]Quelle loi décrit l’évolution temporelle d'un circuit oscillant (L,C) ?

  Les circuits constitués d'une bobine et d'un condensateur jouent un rôle très important en électronique : dans les récepteurs radiophoniques, ils permettent de sélectionner les stations de radio.
Nous nous limiterons à l'étude analytique d'un circuit idéal de résistance nulle, appelé circuit (L, C).

     1. L’équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur
 

 Le circuit du document 6 comporte une bobine d'inductance L, de résistance négligeable et un condensateur de capacité C.
A chaque instant : u_AB + u_DB +u_DA = 0 ;  u_BD = 0  .
Notons : u_AB = u_C et u_DA = u_L =L.di/dt
Nous avons donc : u_C + L.di/dt = 0   (1)  .

 Exprimons di/dt en fonction de u_C .
Notons q = q_A ; q = C.u_C et  i=dq/dt = C . du_C/dt  .
D’où    di/dt = C . d²u_C/dt²   que l’on peut écrire di/dt = C . ü_C   (notation pour la dérivé seconde) .
La relation (1) devient :
      u_C + L . C.ü_C = 0   ou    ü_C = 1/(L.C) .u_C = 0  .

-> Durant les oscillations électriques libres non amorties d’un circuit (L.C), la tension aux bornes du condensateur obéit à l’équation différentielle :
            ü_C = 1/(L.C) .u_C = 0  .

     2. Évolution temporelle de la tension uC

 >Solution de l’équation différentielle

Vérifions que l'équation différentielle précédente admet pour solution une fonction de la forme :    u_C = u_m.cos(2π/T_o .t + φ_o)  .
u_m, φ_o et T_o sont des paramètre constant ne dépendant pas du temps.
Dérivons deux fois la fonction u_C, par rapport au temps :
   du_C/dt = -2π/T_o.u_m.sin(2π/T_o.t + φ_o)  .

   ü_C = -(2π/T_o)².u_m.cos(2π/T_o.t + φ_o) = -4π²/T_o².u_C  .
Substituons cette expression de ü_C dans l’équation différentielle :
  ÜC + 1/(L.C) .uC =0  donne : (-4 π²/To² + 1/(L.C)).uC =0  .
Cette relation étant vérifiée quel que soit uC :  4 π²/To² = 1/(L.C)
Soit : T_o = 2π.racine(L.C)  .

-> La fonction u_C(t)=u_m . cos(2π/T_o . t + φ_o), avec T_o=2π.racine(L.C) , est solution de l’équation différentielle :   ü_C + 1/(L.C).u_C = 0  .
T_o, période propre des oscillations, ne dépend que de L et de C.  u_m et φ_o sont des constantes qui ne dépendent que des conditions initiales portant sur la tension u_C(0) et l’intensité i(0) du courant à l’instant t=0.

La relation   T_o = 2π . racine(L.C)  , est appelé formule de THOMSON.
Nous pouvons faire varier T_o en modifiant les valeur de L ou de C. C’est sur ce principe qu’il est possible de sélectionner les stations radiophoniques sur les récepteurs.

> Cohérence des unités
Vérifions que   racine(L.C)   s’exprime, comme T_o , en seconde.
A partir de la relation  u_L = L.di/dt  , on note que L s’exprime en V.s.A^-1  .
D’autre part, on a   q = C . u_C   où q s'exprimer en coulomb (C) ou en A.s  et la capacité C en   A.s.V^-1 .
Donc le produit L.C s'exprime en V.s.A^-1.A.V^-1  , c'est-à-dire en s².
  Racine(L.C) s'exprime donc an seconde, comme la période T_o.

> signification de u_m et φ_o
* La tension u_C varie entre -u_m et +u_m ;  u_m ,valeur maximale de la tension, est l’amplitude.
*La phase est quantité φ=2π/T_o . t + φ_o  . A l’origine des temps  (instant t=0), la phase prend la valeur φ_o ; φ_o est appelée la phase à l’origine des dates.
*Pour déterminer les valeurs de u_m et φ_o, on exprime les valeurs de u_C et de 
         i = dq/dt = C . duC/dt       à l’instant   t=0 , soit  uC(0) et i(0) qui sont appelés conditions initiales [Doc.7].

     3. évolution de la charge q et de l’intensité i

  A partir de l’équation   u_C(t)=u_m . cos(2π/T_o .t + φ_o), nous obtenons [Doc.8] :
-l’expression de la charge du condensateur q=C.uC  , 
         q = q_m . cos(2π/T_o . t + φ_o) ,  avec q_m=C . u_m  ;
-l’expression de l’intensité i du courant : i = dq/dt,
     i = -q_m . 2π/T_o . sin(2π/T_o . t + φ_o) = i_m . sin(2π/T_o .t + φ_o) ,
     i = i_m . cos(2π/T_o . t + φ_o + π/2)  ,
avec    i_m = q_m . 2π/T_o =C . u_m . 2π/T_o  .

III] Comment s’effectuent les échanges, d'énergie dans un circuit oscillant ?

 Dans les chapitres précédents, nous avons vu que le condensateur peut stocker de l'énergie électrique Ee et que 1a bobine peut stocker de l'énerve magnétique Em. Que se passe-t-il du point de vue énergétique lorsqu’on connecte un condensateur chargé à une bobine ?

      1. L’énergie d’un circuit (LC) série

L’énergie d’un circuit (L ,C) idéal, circuit oscillant non amorti, est à chaque instant la somme des énergies électrique et magnétique emmagasinées dans le condensateur et dans la bobine :
E= Ee + Em = ½ . C.u² + 1/2 . L.i².

Le document 9 montre l’évolution au cours du temps des énergie Ee et Em .
Nous constatons  que E=Ee+Em est constante dans le cas d’un circuit (L,C) idéal.
Lorsque   u_C = u_m  , nous avons   i = 0   et lorsque   u_C = 0  ,   i = i_m.
Donc l’énergie totale E s’écrit :  E = ½ . C.u²m = ½ . L i²_m  .

     2. L’énergie d’un circuit (R,L,C) série

 Dans le cas d’un circuit (R,L,C) série, il y a dissipation d’énergie par effet joule dans la résistance. L’ énergie E = Ee+Em = ½ . C . u_C² + ½ . L . i²  n’est plus constante, elle diminue au cours de temps [Doc.10].

-> Dans un circuit (R ,L ,C) série, l’amortissement des oscillations est dû à une perte d’énergie par effet Joule.

    Exercices d’entraînement.
Le document 10 présente l'évolution des énergie Ee (courbe bleue), Em (courbe rouge) , et E=Ee+Em (courbe verte).
 l.Que représente le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe verte ? En quelle unité se mesure-t-il ?
 2.Comparer les pentes de ces tangentes en un point coïncidant avec un somment de la courbe rouge et en un point coïncidant avec un sommet de la courbe bleue. Expliquer la différence constatée.

1.En un point de la courbe verte, le coefficient directeur de la tangente est égal à dE/dt qui représente un puissance « perdue » par le circuit et s’exprimant en W (watt).
2.En un point coïncidant avec un sommet de la courbe rouge, la puissance perdue est grande, car 1’intensité est maximale (1/2 L . i²) et l'effet Joule important. Elle est nulle en un point coïncidant avec un sommet de la courbe bleue, car l’intensité est nulle et l'effet Joule nul.

IV] Comment peut-on entretenir des oscillations non amorties?

Les oscillations d’un circuit comportant une bobine et un condensateur sont toujours amorties, car le circuit possède toujours une résistance (bobine, fils de connexions). Il en résulte des pertes d’énergie par effet Joule qui doivent être compensées si on veut entretenir les oscillations.

Activité 4 : Comment entretenir des oscillations auto-entretenues ?
*Réalisons une association en série d'un condensateur et d'une bobine .
*Brancher le dipôle (R, L, C) aux bornes A et M d’un module électronique possédant une alimentation propre (appelé résistance négative) [Doc11].

On note R = r + r' .
*Visualiser avec un ordinateur, la tension u_C aux bornes du condensateur.
*Ajuster la valeur de Ro, résistance de réglage du module électronique, pour obtenir des oscillations d'allure sinusoïdale.
1.Qu’observe t-on lorsque la valeur de Ro est trop faible ?
2.Comparer la valeur de la période des oscillations obtenues à la période propre T_o d’un circuit (L.C)  car L,R,C sont connues).

 > observation
 Pour de faibles valeurs de Ro, nous n'observons aucune oscillation.
En augmentant la valeur de Ro, pour une valeur particulière, les oscillations prennent naissance [Doc.12].

 Ces oscillations, d’allure sinusoïdale, ont une période égale à la période propre    T_o = 2π . racine(L.C)  du circuit (L.C).

 > Interprétation
 Le dipôle (R, L,C) puise périodiquement, a sa propre fréquence, de l’énergie dans le module électronique pour compenser les pertes dues à l’effet Joule. Le module fournit l’énergie pour entretient des oscillations.

 -> Les oscillation d’un circuit (R.L.C) série peuvent être entretenues par un module électronique (résistance négative) qui compense les pertes d’énergie par effet Joule.

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