Exercice n°1:

On considère la fonction f(x) = (2e^-2x + 1)/(e^-2x - 1) .

1. Déterminer son ensemble de définition D_f.

2. Montrer que, pour tout x de D_f, on a:

f(x) = (e^2x + 2)/(1 - e^2x)  .

3. Pour tout x de D_f, évaluer la quantité: f(-x) + f(x)  .

Quelle conséquence graphique doit-on en tirer?

Corrigé de l'exercice n°1.

1. f est définie si et seulement si e^-2x-1 diférent de zéro.

2. Dans R*: f(x) = (2e^-2x + 1)/(e^-2x - 1) = (e^2x/e^2x)[(2e^-2x+1)/(e^-2x-1)]

   donc  f(x) = (2+e^2x)/(1-e^2x)  .

3.  Alors: f(-x) + f(x) = (2+e^-2x)/(1-e^-2x) + (2e^-2x + 1)/(e^-2x - 1)

f(-x) +f(x) = (e^-2x -1)/(e^-2x -1) = 1 .

De plus R* est symétrique par rapport à zéro, le point A(0 ; f(0) = 0,5)  est donc centre de symétrie pour C_f.

Exercice n°2:

Résoudre les inéquations suivantes:

1.   e^x² e^x > (e³)²  ;

2.   e^x²-x < e  .

Corrigé de l'exercice n°2.

1. L'inéquation :  e^x² e^x > (e³)² équivaux à :   e^x²+x > e⁶ .

Or la fonction exponentielle est croissante sur R donc on en déduit que:

x² +x -6 > 0   .

 Par résolution de l'équation du second degrés on trouve que:

S₁ = ]-∞;-3[U]2;+∞[  .

2. L'inéquation :  e^x²-x < e   équivaux à :    e^x²-x-1 < 0  .

De même qu'en 1. on en déduit que:   x² -x -1 < 0  .

Donc on trouve:  S₂ = ] (1 - racine(5))/2 ; (1 + racine(5))/2 [  .

Exercice n°3:

Déterminer la limite en +∞ de chacune de ces fonctions:

1.  f(x) = e^2x - x²  ;

2.  g(x) = e^2x -2e^x  ;

3.  h(x) = (x+1)/(e^x-1)  .

Corrigé de l'exercice n°3.

1.  On factorise :   f(x) = e^2x - x²  = e^2x(1 - x²/e^2x) =  e^2x(1 - (x/e^x)²)  .

Or d'après le cour, on a lim[x->+∞] ((e^x)/x) = +∞  .

Et de plus lim[X->+oo] 1/X = 0  , donc par composition ,

 on a : lim[x->+∞] (x/e^x) = 0 .

D'où  lim[x->+∞] f(x) = +∞  , car  lim[x->+∞] e^x² = +∞  .

2. g(x) = e^2x -2e^x = e^2x(1 -2e^-x).

Or  lim[x->+∞] e^-x = 0  .

D'où   lim[x->+∞]  g(x) = +∞  .

3. Soit x ≠ 0, alors   h(x) = (x+1)/(e^x-1) = (x/e^x)[(1+1/x)/(1-e^-x)] .

Or   lim[x->+∞] (1+1/x)  = 1   et    lim[x->+∞] (1-e^-x) = 1  .

Et comme     lim[x->+∞] x/e^x = 0, alors par quotient et par produit : 

on a:    lim[x->+∞] h(x) = 0  .

Exercice n°4 :

Préciser l'ensemble de dérivabilité de la fonction et déterminer sa fonction dérivée.

1.  f(x) = (3-2x)e^2x-1  ;

2.  g(x) = e^2x/(3x+2)  ;

3.  h(x) = (7/5)e^2-3x+7  ;

4.  k(x) = 6(1-e^-5x) + 2t² -1  .

 

Corrigé de l'exercice n°4.

 

1. f(x) = (3-2x)e^2x-1   donc f(x) dérivable sur R.

 Et  f'(x) = -2(2x-1)e^2x-1  = -4(x-1)e^2x-1  .

2.  g(x) = e^2x/(3x+2)  donc dérivable sur R\{-2/3}  .

  Et  g'(x) = [2e^2x(3x+2)-3e^2x]/(3x+2)² = e2x(6x+1)/(3x+2)²  .

3.  h(x) = (7/5)e^2-3x+7   danc dérivable sur R.

  Et   h'(x) = (-21/2)e^3-7x  .

4.  k(x) = 6(1-e^-5x) + 2t² -1  donc dérivable sur R.

  Et   k'(x) = 30e^-5x +4x  .

Exercice n°5:

Soit la fonction   f(x) = e^x/(e^x+1)   et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Justifier que la fonction f est définie sur R.

2. Déterminer la limite de f en -∞.

3. Montrer que pour tout x réel: f(x) = 1/(1+e^x)  .

En déduire la limite de f en +∞.

4. Montrer que f est strictement croissante sur R.

5. Montrer que le point A(0;0,5) est centre de symétrie de C.

6. Déterminer une équation de T la tangente à C en A.

7. Pour tout x réel, on pose: g(x) = x/4 +1/2 -f(x)  .

  a) Factoriser l'expression e^2x -e^x +1  .

  b) Calculer g'(x) et g(0)  .

  c) En déduire la position relative de T et de C.

8. Tracer T et C.

 

Corrigé de l'exercice n°5.

 

1. Pour tout réel x, e^x>0, donc: e^x+1 > 1  . Donc f est définie sur R.

2. On a   lim[x->-∞] e^x = 0 ,  donc   lim[x->-∞] f(x) = 0  .

3.  Soit x réel, f(x) = e^x/(e^x+1) = e^x/e^x(1/(1+1/e^x)) = 1/(1+e^-x)  .

4.  f est dérivable sur R avec : f'(x) = e^-x/(1+e^-x)²  .

Or f'(x)>0 donc f est strictement croissante sur R.

De plus:  lim[x->+∞] e^-x = 0  ,  donc   lim[x->+∞] f(x) = 1  .

5.  Soit x réel,  f(-x) + f(x) = 1 (en utilisant 3.)  et donc A(0;0,5)  est centre de symétrie de C_f.

6.  f'(0) = 1/4, f(0) = 1/2,  une équation de T est alors y=x:4+1/2  .

7.  Soit x réel, on a g(x) = x/4 +1/2-f(x)  .

a)  Pour x réel,  e^2x -2e^x +1=(e^x-1)²  .

b)  g est une fonction dérivable sur R, donc:

g'(x) = 1/4 -f'(x) = 1/4 -e^-x/(e^x+1)² = [(e^-x +1)² -4e^-x]/(e^x+1)²  .

Soit  g'(x) = (e^2x +2e^x +1 -4e^-x)/(e^x+1)² = (e^2x -2e^x +1)/(e^x+1)²  .

et donc g'(x) = (e^-x-1)²/(e^-x+1)²  =  [(e^-x-1)/(e^-x+1)]² .

Ce qui donne: 

 c) Sur ]-∞ ; 0[  C est au dessus de T, sur ]0 ; +∞[ C est au dessus de T  

Cour sur la fonction exponentielle

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