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Exercice 1:
Soit (Un) la suite définie par u0 = 1 et pour tout n appartenant aux naturels: un+1 = 2 un - 8 .
Démontrer que, pour tout n appartenant aux naturels, un = -7 x 2n + 8 .
Exercice 2:
Soient les suites numériques (vn) et (wn) définies par v0 = -3/2 et pour tout n naturel: { vn+1 = 2/3 vn - 1 ; wn = 2 vn + 6
1. Démontrer que (wn) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
2. Donner les expressions de vn et wn en fonction de n .
En déduire lim[n->oo] vn .
3. Calculer Sn = Somme des wk de k=0 à n . En déduire lim[n->oo] Sn .
Exercice 3:
On considère la fonction f définie sur R+ par:
f(x) = (2x+2)/(x+3)
1. Étudier les variations de f.
2.En déduire que, pour tout x appartenant à [0,1] , f(x) appartient à [0,1] .
3.Dans toute la suite, on considère la suite (un) définie par :
u0 = 0 et un+1 = f(un) , n naturel
a. Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal d'unités graphique 10 centimètres.
b. Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite (un) .
c. Que pouvez-vous conjecturer quant au sens de variation de cette suite et de sa convergence ?
4.a. Montrer que, pour tout n naturel, un appartient à [0,1] .
b. Montrer que : pour tout n naturel
un+1 - un = [(un+2)(1-un)]/(un+3)
c. En déduire le sens de variation de la suite (un) .
d. Montrer que la suite (un) converge.
e. Soit l la limite la suite (un), démontrer que l vérifie l=f(l). En déduire la valeur de l.
5. On considère la suite (vn) définie par : vn = (un-1)/(un+2) .
a. Prouver que (vn) est une suite géométrique et donner ses éléments caractéristiques.
b. Calculer v0 et exprimer vn en fonction de n.
c. Exprimer un en fonction de vn, puis en fonction de n .
d. En déduire du 4.c. que la suite (un) converge et déterminer sa limite.
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